π とかいう邪悪な存在

円周率 $\pi$ 、数学や物理を学んでいると嫌というほど出てきますよね

普通であれば「あ、また出てきた」くらいのものだと思いますが、ちょっと考えてみたらこの「 $\pi$ 」って結構邪悪な存在なんですよね。僕が思うには

なので、なぜ「邪悪な存在」なのかを僕なりに書き残そうとおもいます

理由①｜定義の問題

$\pi$ の定義は、「円周/直径」。これは皆さんご存知だと思います

$\pi = \cfrac{l}{R} \fallingdotseq 3.1416$

では、円の定義はというと、「平面上で、定点からの距離が同じ点の集まり」です
ここで、定点からの距離というのは半径です。つまり、円は半径によって定義されています

ならば、円周率も半径で定義するのが筋でしょう

ちなみにこの場合、 $\pi$ の代わりに $\tau$ （読み：タウ）を使うことが多いそうです。名前も同じ円周率だとごちゃごちゃになるので、「円周比」という呼び方を提案したい

$\tau = \cfrac{l}{r} \fallingdotseq 6.2832$

また、 $\pi$ と $\tau$ の関係性は以下の通り

$\tau = 2 \pi$

定義の中で分母が半分になっているので、まあ当然

理由②｜実用上の問題

突然ですが、以下の3つの不定積分の式を見て下さい（積分定数は省略しています）

$\int_{}^{} CV dV = \cfrac{1}{2} CV^{2}$

$\int_{}^{} LI dI = \cfrac{1}{2} LI^{2}$

$\int_{}^{} 2 \pi r dr = \pi r^{2}$

これらを見て違和感を覚えませんか？　2 $\pi$ お前何やねん、という風に思いません？

では、これを $\tau$ を使って書いてみましょう

$\int_{}^{} \tau r dr = \cfrac{1}{2} \tau r^{2}$

同じ形になりました。実にシンプルで素晴らしい

他にも $2 \pi$ が関係しているのがたくさんあるので、いくつか例示します。ついでに $\tau$ で置換したものも並べます

単振り子の周期の公式

$T = 2 \pi \sqrt{\cfrac{g}{l}} = \tau \sqrt{\cfrac{g}{l}}$

単振動の周期の公式

$T = 2 \pi \sqrt{\cfrac{k}{m}} = \tau \sqrt{\cfrac{k}{m}}$

半径rの円の円周の長さの公式

$l = 2 \pi r = \tau r$

単位円の円周の長さの式

$l = 2 \pi = \tau$

半径rの円の面積の公式

$S = \pi r^{2} = \cfrac{1}{2} \tau r^2$

単位円の面積の式

$S = \pi = \cfrac{1}{2} \tau$

角周波数の公式

$\omega = 2 \pi f = \tau f$

並行電流が及ぼし合う力の式

$F = \cfrac{\mu I_{1} I_{2}}{2 \pi r} l = \cfrac{\mu I_{1} I_{2}}{\tau r} l$

これらを見比べて、 $\pi$ の利点はせいぜい単位円の面積が一文字ですむことくらいでしょう。その他はどれを取っても $\tau$ の方がスッキリしていますよね

「弧度法」という観点からも見てみましょう

弧度法では、角度を半径に対する弧の長さの比で表します。360°は $2 \pi$ ラジアンに相当します
ですが、一周しかしていないのにあたまに $2$ が付いている。これは不自然極まりない

ここで円周率の代わりに円周比を使えば、一周すれば丁度 $\tau$ となり、理解がしやすい

円周率が関係している数式や公式はたくさんありますが、 $\pi$ を使っているせいで邪魔な係数 $2$ が付いてくるものが多かったり、よく見る $\int_{}{} ax dx = \cfrac{1}{2} ax^{2}$ の形にならなかったり、
これって割と問題だと思うんですよ。数学らしくないし美しくない

理由③｜三角関数との親和性

僕は Arduino などで正弦波の配列を作ることが多いんですが、その際 $\pi$ に苦しめられた経験があります。その時、#define Tau (2 * PI)やfloat Tau = 2 * PIとして代わりに $\tau$ を使った結果割とすんなり書けました

これはなぜか、やはり係数の $2$ があるからです

三角関数を使って、N分割の sin の配列を作るときは以下のようにすると思います

float SIN[N];

for(uint16_t i = 0; i < N; i++) {
  SIN[i] = sin((i / N) * 2 * PI);
}

出ましたね、招かれざる客 2 $\pi$

もう書きませんが、この 2 * PI を Tau に置き換えるとわかりやすくなります。何故なら単位円の円周の長さが $\tau$ で、それをN分割し、i をインクリメントしていくことでN分割したピザみたいなやつの数を増やしていくという考え方です

また、複素数を使った1のn乗根の解を計算する場合でも同様に考えることができます

$Z = \cos \theta + i \sin \theta$

$\theta = \cfrac{2 \pi k}{n} , k = 1, 2, ... , n$

書き換えると、

$Z = \cos \theta + i \sin \theta$

$\theta = \cfrac{\tau k}{n} , k = 1, 2, ... , n$

やはりシンプルでわかりやすいですね。円周をn分割していることが直感的にわかります

また、世界一美しいとされるオイラーの公式でも　 $\tau$ を使うメリットが出てきます

$e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta$

この式の $\theta$ に $\pi$ を代入すると、このようになります

$e^{i \pi} = \cos \pi + i \sin \pi$

$\cos \pi = -1$

$\sin \pi = 0$

∴ $e^{i \pi} = -1$

これって本当に美しいですかね？　マイナスがついてるのは残念に思えます。では、 $\theta = \tau$ で計算してみましょう

$e^{i \tau} = \cos \tau + i \sin \tau$

$\cos \tau = 1$

$\sin \tau = 0$

∴ $e^{i \tau} = 1$

イコール1になりました。こっちの方が美しいですね

理由④｜その他数学的な理由

$2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 × 17 × ...$ のように素数を無限に掛けていく場合を考えてみましょう
普通に考えてみれば、有限積の範囲であればどんどんと値が増えていきます。ですが、素数自体は無限に存在すると証明されているため、無限積の範囲になり話が変わってきます

詳しいことはまだ良くわかっていないんですが、複素関数論という学問の中で出てくる解析接続という手法を取ると、この無限積の解は $4 \pi ^{2}$ となるそうです。言いたいことはもうわかってきたでしょう。 $4 \pi ^ {2} = (2 \pi) ^{2} = \tau ^ {2}$ となりますよね。 $\tau$ を用いた方がシンプルでかつ本質的じゃないですか？

どうしてこうなった？

「円周率を円周と直径の比で定義してしまったから」これに尽きると思います

僕としてはどう考えても円周率 $\pi$ より円周比 $\tau$ の方が定義的にも、実用面でも、数学的にもメリットが大きいとしか思えないので、自分のプログラム内で円周率を扱う事があれば #define Tau (2 * PI) あるいは const float Tau = 2 * PI; として $\tau$ を使うことにしています

実際コード書いてて $\tau$ を用いたほうが楽なので、ぜひ試してみて下さい

僕はτ信者なので pic.twitter.com/Djoh6552Yd
— Nch MOSFET (@Nch_MOSFET) June 12, 2022

かなり長くなりましたが、今日はここまで

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